分布式非线性系统的图表示与鲁棒控制不变集（RCIS）估计
研究背景
控制不变集是约束控制系统中用于刻画“在适当控制作用下可长期保持安全”的关键概念。对于受状态与输入约束的系统，若某状态集合具有这样的性质：从集合内任一点出发，总能找到满足约束的控制输入使系统状态在下一时刻仍留在该集合中，则称其为控制不变集。它从集合层面刻画了在约束条件下可持续维持可行性的状态范围，是分析系统安全域、可达域和可维持域（viability kernel）的基础工具；在模型预测控制（MPC）中，控制不变集常被用作终端约束集，用于保证有限预测时域下的闭环稳定性和全时域约束满足，因此在约束最优控制与安全关键系统的控制律设计中具有核心意义。
方法概述
2021年，Decardi-Nelson 和 Liu 等人1提出了一种算法，用于计算一般约束时不变离散时间不确定非线性系统中最大鲁棒控制不变量集的近似，与某些其他方法不同，它不假设多项式动力学，不要求收缩性，也不假设已知集合的结构。更重要的是，最大鲁棒控制不变量集的内外近似都能以足够精确的精度计算。
动态系统的图表示，以及对CIS/RCIS的估计
对单个自治离散系统 $x^{+} = f(x)$，可通过对状态约束集 $X$ 做有限覆盖来构造其图表示：首先将有界的约束集 $X$ 划分或覆盖为有限个小网格 ${B_1, …, B_N}$，并将每个网格视为图中的一个顶点；随后对每个 $B_i$ 内选取若干代表性状态点 $x$，用系统动力学计算下一步状态 $x^{+} = f(x)$，若 $x^{+}$ 落入某个网格 $B_j$，则在图中从顶点 $B_i$ 向顶点 $B_j$ 添加一条有向边；对所有网格重复该过程并去除重复边后，就得到一个有向图，该图在离散层面上近似描述了系统在约束集 $X$ 上的一步可达关系。
用图 $G = (V, E)$ 近似系统后，CIS 的估计集合 $I^{+}(G)$ 由两类顶点组成：一类是图中最大的强连通分量 $G_S = (V_S, E_S)$ 的全部顶点，这些顶点本身就存在无限可行路径经过；另一类是所有不在 $V_S$ 中、但存在一条有向路径可以到达 $V_S$ 中至少一个顶点的顶点，它们同样可以沿路径进入强连通分量，从而具有无限可行路径。上述两类顶点的并集就是 $I^{+}(G)$，其对应的状态 cell 的并集构成了系统最大控制不变集（CIS）的一个闭邻域估计。
下一步引入扰动 $w$，在已有 CIS 的图算法基础上构造鲁棒控制不变集（RCIS）时，需要把“对给定扰动存在可行路径”变为“对所有扰动都存在可行路径”。具体做法是将系统写成集合值映射 $F(x,w) = f(x,U,w)$，然后对每一个固定扰动值 $w \in W$ 分别在相同的状态覆盖上构造一张符号图 $G_w$，并像无扰动情形那样从每张图中提取具有无限可行路径的节点集合 $I^{+}(G_w)$；最后，将所有扰动实现对应的集合求交 $K = \bigcap_{w \in W} I^{+}(G_w)$，得到的 $K$ 就是对任意扰动序列都能使得状态保持在内的集合，从而给出最大鲁棒控制不变集 $R(X)$ 的外部近似。
单个非线性系统RCIS的外部/内部估计方法
对于单个非线性系统，外部近似的思想是：从状态约束集 $X$ 出发，对其进行有限覆盖并在其上构造有向图，利用“具有无限可行路径的节点集合”来筛选出可能属于最大鲁棒控制不变集 $R(X)$ 的 cells，迭代得到一列集合 $R_k$。由构造可知，每个 $R_k$ 都是 $R(X)$ 的外逼近，即 $R(X) \subset R_k$，且在理论上若能进行无限次细分与迭代，则有 $R_k$ 在集合意义上收敛到 $R(X)$，即极限集合 $R_{\infty} = R(X)$。在数值实现中，由于细分精度有限，只能在某个步数 $k$ 上停止，此时可保证 $R_k \subset R(X) + \epsilon \mathbb{B}$，表明外部近似的误差被限制在半径为 $\epsilon$ 的邻域内。
为了获得可直接用于控制设计的内部近似，在得到满足 $R_k \subset R(X) + \epsilon \mathbb{B}$ 的某一步结果后，再对 $R_k$ 进行“向内收缩”，例如取 $\tilde{R}_k := R_k \ominus \epsilon \mathbb{B}$ 或采用类似的内缩操作，使得 $\tilde{R}_k \subset R(X)$ 成立。这样构造得到的 $\tilde{R}_k$ 是最大鲁棒控制不变集的保守内近似：一方面它保证了鲁棒控制不变性（轨迹从 $\tilde{R}_k$ 出发在扰动下始终可被保持在约束内），另一方面随着覆盖网格的加细和 $\epsilon$ 的减小，$\tilde{R}_k$ 可以在集合意义上任意逼近 $R(X)$，从而在数值可实现的前提下兼顾精度与安全性。
分布式（非线性）系统的RCIS估计方法
对于多子系统组成的受约束离散时间系统，利用有向图对每个子系统的局部动力学进行近似，并逐级传播耦合影响以获得各自的控制不变集。具体而言，首先选择合适的系统分解方式，这里一般使用重叠系统分解，以更好描述子系统相互作用。然后对第一个子系统在给定状态覆盖和输入约束下构造其有向图表示，计算图上具有无限可行路径的节点集合 $I^{+}(G_1)$ 作为局部不变集 $R_1$。随后对第 $i$ 个子系统 $(i=2,…,M)$，先基于前一子系统的结果 $R_{i-1}$ 估计其耦合变量的可能取值范围，再利用该范围与本地覆盖、输入约束构造子系统图 $G_i$，并同样通过求 $I^{+}(G_i)$ 得到局部不变集 $R_i$。如此逐子系统迭代，最终得到所有子系统的局部控制不变集 ${R_i}$ 及相应图表示 ${G_i}$，从而近似计算整体系统的控制不变区域。
Reverse Footnote
Decardi-Nelson B, Liu J. Computing robust control invariant sets of constrained nonlinear systems: A graph algorithm approach[J]. Computers & Chemical Engineering, 2021, 145: 107177. ↩︎